Maxwelli Võrrandid

Teoorial magnetismist puudus pikka aega täpne matemaatiline kirjeldus. Täieliku seletuse nähtustele füüsikalises mõttes andis alles 1864. aastal James Clerk Maxwell. Tema leitud neli Maxwelli võrrandit moodustavad tänaseni elektrodünaamika aluse. Põhimõtteliselt kirjeldavad Maxwelli võrrandid, kui suured on elektri- ja magnetväljad ning vastavad jõud, kui esinevad teatud laengu- või voolujajaotused. Maxwell mõistis, et elektrilised ja magnetilised nähtused ei ole teineteisest sõltumatud. Nii lähtuvad ka liikuvalt elektriväljalt magnetväljad. Rohkem teavet magnetite ajaloost leiate meie nõuandjast.

Ajaliselt muutuvad elektri- ja magnetväljad mõjutavad üksteist elektromagnetilises laines vastastikku. Vakuumis kehtivate Maxwelli võrrandite laiendamine aine Maxwelli võrranditeks arvestab lisaks elektrilise polarisatsiooni ja magnetiseerituse nähtusi ning võimaldab seega kirjeldada ka elektri- ja magnetväljade levikut aines.

Märgistus

Maxwelli võrrandites kasutatakse matemaatilist diferentsoperaatorit, mida nimetatakse ka "tuletiste vektoriks". Selle sümboliks on tipul seisev kolmnurk:

\( \vec{\nabla}=\left(\begin{array}{c} \partial/\partial{x} & & \partial/\partial{y} & & \partial/\partial{z} \end{array}\right) \),

kusjuures \(\partial/\partial{x}\) tähistab osalist tuletist muutuja x suhtes.

Nii kirjeldatakse "punktist lähtuvate jõujoonte" osa, nt elektrivälja \(\vec{E}\) puhul, välja niinimetatud divergentsi (\(\nabla\cdot\vec{E}\)) abil. Teisalt on võimalikud ka jõujoontest moodustuvad suletud aasad, nn pöörised. Neid iseloomustatakse rotatsiooni (\(\nabla\times\vec{E}\)) abil.

Neli ajast sõltumatut Maxwelli võrrandit ja nende tähendus

Ajast sõltumatud Maxwelli võrrandid kirjeldavad elektrivälja (\(\vec{E}\)) ja magnetilise vootiheduse (\(\vec{B}\)) kulgu antud staatiliste laengute ρ ja voolude \(\vec{j}\) korral vaakumis või ligikaudselt õhus:

\(1) \nabla\cdot\vec{E} = \frac\rho\epsilon_0\)
\(2) \nabla{\times{\vec{E}}} = 0\)
\(3) \nabla\cdot\vec{B} = 0\)
\(4) \nabla{\times{\vec{B}}} =\mu_0\cdot\vec{j}\)
ε₀ tähistab vaakumi dielektrilist konstantset ja μ₀ vaakumi magnetilist läbitavust.

Täpsemalt võib nende võrrandite sisu mõtestada järgmiselt:

1) Laengutest lähtuvad jõujooned. Seega on laengud elektrivälja allikad (positiivsed laengud) või neeldajad (neg. laengud). Neid väljallikaid iseloomustab divergens. Laengu tekitatud elektrivälja tugevus on võrdelises seoses laengu suurusega.

2) Seisundi korral ei ole elektriväljal pööriseid. Pöörised leitakse ülaltoodud rotatsiooni abil.

3) Seevastu magnetilisel vootihedusel puuduvad allikad. „Magnetilisi monopole” ei ole, s.t. ei ole füüsikalist objekti, millest lähtuksid ainult magnetvälja jõujooned.

4) Selle asemel tekitavad voolud magnetilise vootiheduse pööriseid ja seega ka magnetvälja. Magnetvälja tugevus on võrdelises seoses suletud vooluga.

Neli ajast sõltuvat Maxwelli võrrandit

Ajast sõltuvad Maxwelli võrrandid arvestavad lisaks nimetatud nähtustele ka ajas muutuvate elektriliste ja magnetväljadega. Välja ajalist muutust tähistab punkt. See sümboliseerib tuletist aja järgi. Elektrivälja puhul tähistab seega \(\dot{\vec{E}}=\frac{d}{dt}\vec{E}\) elektrivälja ajalist muutust. Seega on ajast sõltuvad Maxwelli võrrandid vaakumis:

\(1) \nabla\cdot\vec{E} = \frac\rho\epsilon_0\)
\(2) \nabla{\times{\vec{E}}}+\dot{\vec{B}} = 0\)
\(3) \nabla\cdot\vec{B} = 0\)
\(4) \nabla{\times{\vec{B}}} =\mu_0\cdot\vec{j}+\frac1{c^2}\dot{\vec{E}}\)
Võrrandi 2) järgi tekitab ajas muutuv magnetiline vootihedus täiendavaid pööriseid elektriväljas. Ajas muutuv elektriväli (võrrand 4) põhjustab omakorda täiendavaid pööriseid magnetväljas. Võrrandite 2) ja 4) abil saab näiteks määrata elektromagnetlainete käitumise. Suurus c on valguse kiirus, mis on konstantidega ε₀ ja μ₀ seotud järgmiselt:

\(\epsilon_0\mu_0=\frac{1}{c^2}\).

Materjalispetsiifiliste parameetrite sisseviimine on vajalik elektriliste ja magnetväljade leviku kirjeldamiseks aines. Aines põhjustavad elektriväljad elektrilise polarisatsiooni ja magnetväljad magnetiseerumise. Ajast sõltuvad Maxwelli võrrandid aines arvestavad seda järgmiselt:

\(1) \nabla\cdot\vec{E} = \frac\rho\epsilon_0-\nabla\cdot\frac{\vec{P}}{\epsilon_0}\)
\(2) \nabla{\times{\vec{E}}}+\dot{\vec{B}} = 0\)
\(3) \nabla\cdot\vec{B} = 0\)
\(4) \nabla{\times{\vec{B}}} =\frac{1}{c^2}\dot{\vec{E}}+\mu_0\dot{\vec{P}}+\mu_0\nabla\times\vec{M}+\mu_0\cdot\vec{j}\)
Elektrivälja allikad ei ole seega võrrandi 1) järgi mitte üksnes tõelised laengud ρ, vaid ka polarisatsioon \(\vec{P}\) . Polarisatsioon sõltub materjalispetsiifilisest dielektrilisusest (polarisatsioonivõimest).

Magnetilise vootiheduse pöörised on võrrandi 4) järgi põhjustatud vooludest \(\vec{j}\), ajas muutuvatest elektriväljadest (sh polarisatsioonidest) ning magnetiseerumistest \(\vec{M}\). Kuna magnetiseerumine sõltub materjalispetsiifilisest magnetilisest permeaabluskonstandist μ, sisaldub \(\vec{M}\) kaudu teave 4. Maxwelli võrrandis selle kohta, kuidas materjal väliste väljade toimel magnetiseerub ja kuidas see mõjutab magnetilist vootihedust.